СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.
Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:
1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;
2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.
3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!
- Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n -й степенью числа а и обозначается а n .
- Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, а n – степень, а – основание степени, n – показатель степени.
- а 0 =1
- а 1 =а
- a m ∙ a n = a m + n
- a m : a n = a m — n
- (a m ) n = a mn
- (a∙b) n =a n ∙b n
- (a / b ) n = a n / b n При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
- (- n ) -й степенью (n – натуральное) числа а , не равного нулю, считается число, обратноеn -й степени числа а , т.е. a — n =1/ a n . (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
- (a / b ) — n =(b / a ) n
- Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a ∙10 n , где 1≤а<10 и n (натуральное или целое) – есть порядок числа, записанного в стандартном виде.
- Выражения, которые составлены из чисел, переменных и их степеней, при помощи действия умножения называются одночленами.
- Такой вид одночлена, когда на первом месте стоит числовой множитель (коэффициент), а за ним переменные с их степенями, называют стандартным видом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных, входящих в состав одночлена, называют степенью одночлена.
- Одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть, называются подобными одночленами.
- Сумма одночленов называется многочленом. Одночлены, из которых составлен многочлен, называются членами многочлена.
- Двучлен – это многочлен, состоящий из двух членов (одночленов).
- Трехчлен – это многочлен, состоящий из трех членов (одночленов).
- Степенью многочлена называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
- Многочлен стандартного вида не содержит подобных членов и записан в порядке убывания степеней его членов.
- Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить на этот одночлен каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
- Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называется разложением многочлена на множители.
- Вынесение общего множителя за скобки – простейший способ разложения многочлена на множители.
- Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и записать полученные произведения в виде суммы одночленов. При необходимости привести подобные слагаемые.
- (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
- a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
- (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
- (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
- a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2) Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
- a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2) Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
- (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Квадрат суммы трех выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс всевозможные удвоенные попарные произведения самих выражений.
- Справка. Полный квадрат суммы двух выражений: a 2 + 2ab + b 2
Неполный квадрат суммы двух выражений: a 2 + ab + b 2
Функцию вида y=x 2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x² направлены вверх.
Функцию вида y=x 3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x³ находятся в I и III четвертях.
Четная функция.
Функция f называется четной, если вместе с каждым значением переменной х -х f (- x )= f (x ). График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оy). Функция y=x 2 – четная.
Нечетная функция.
Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение (-х ) также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство:f (- x )=- f (x ) . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y=x 3 – нечетная.
Квадратное уравнение.
Определение. Уравнение вида ax 2 +bx+c=0 , где a, b и c – любые действительные числа, причем а≠0, х – переменная, называется квадратным уравнением.
a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.
Решение неполных квадратных уравнений.
- ax 2 =0 – неполное квадратное уравнение (b=0, c=0 ). Решение: х=0. Ответ: 0.
- ax 2 +bx=0 – неполное квадратное уравнение (с=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Ответ: 0; -b/a.
- ax 2 +c=0 – неполное квадратное уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
Если (-c/a)<0 , то действительных корней нет. Если (-с/а)>0
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
Дискриминант D=b 2 — 4ac.
Если D>0 , то имеем два действительных корня:
Если D=0 , то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a) .
Если D<0, то действительных корней нет.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором
Коэффициенте b
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0.
Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с , деленному на а :
x 1 =-1, x 2 =-c/a.
- ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при условии : a+b+c=0 .
Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с , деленному на а :
x 1 =1, x 2 =c/a .
Решение приведенных квадратных уравнений.
- x 2 +px+q=0 – приведенное квадратное уравнение (первый коэффициент равен единице).
Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
ax 2 +bx+c=a·(x-x 1)(x-x 2) , где x 1, x 2 - корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.
Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью, а числа, образующие последовательность — членами последовательности.
Числовую последовательность можно задать следующими способами: словесным, аналитическим, рекуррентным, графическим.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d , называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии {a n } , т. е. в арифметической прогрессии с членами: a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , …, a n-1 , a n , … по определению: a 2 =a 1 +d ; a 3 =a 2 +d ; a 4 =a 3 +d ; a 5 =a 4 +d ; …; a n =a n-1 +d ; …
Формула n-го члена арифметической прогрессии.
a n =a 1 +(n-1) d.
Свойства арифметической прогрессии.
- Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
a n =(a n-1 +a n+1):2;
- Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов:
a n =(a n-k +a n+k):2.
Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
1) S n = (a 1 +a n)∙n/2; 2) S n =(2a 1 +(n-1) d)∙n/2
Геометрическая прогрессия.
Определение геометрической прогрессии.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число q , называют геометрической прогрессией прогрессией. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии {b n }, т. е. в геометрической прогрессии b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , … , b n , … по определению: b 2 =b 1 ∙q; b 3 =b 2 ∙q; b 4 =b 3 ∙q; … ; b n =b n -1 ∙q.
Формула n-го члена геометрической прогрессии.
b n =b 1 ∙q n -1 .
Свойства геометрической прогрессии.
Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби , в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода дроби, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода дроби. Пример:
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника.
(α+β=90°)
Имеем: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Так как β=90°-α, то
sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;
tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.
Кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны между собой.
Формулы сложения.
9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;
10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;
11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;
12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;
Формулы двойного и тройного аргументов.
17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;
19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α
21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;
Формулы преобразования суммы (разности) в произведение.
Формулы преобразования произведения в сумму (разность).
Формулы половинного аргумента.
Синус и косинус любого угла.
Четность (нечетность) тригонометрических функций.
Из тригонометрических функций четная только одна: y=cosx, остальные три – нечетные, т. е. cos (-α)=cosα;
sin (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.
Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.
Значения тригонометрических функций некоторых углов.
Радианы.
1) 1 радиан – величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу данной окружности. 1 рад.≈57°.
2) Перевод градусной меры угла в радианную .
3) Перевод радианной меры угла в градусную.
Формулы приведения.
Мнемоническое правило:
1. Перед приведенной функцией ставят знак приводимой.
2. Если в записи аргумента π/2 (90°) взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.
Обратные тригонометрические функции.
Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-π/2; π/2 ], синус которого равен а.
arcsin (- a )=- arcsin a .
Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка , косинус которого равен а.
arccos (-a)= π – arccosa.
Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2), тангенс которого равен а.
arctg (- a )=- arctg a .
Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.
arcctg (-a)= π – arcctg a.
Решение простейших тригонометрических уравнений.
Общие формулы.
1)
sin t=a, 0 2)
sin t = — a, 0 3)
cos t=a, 0 4)
cos t =-a, 0 5)
tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ; 6)
tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ; 7)
ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ; 8)
ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ. Частные формулы.
1)
sin t =0, тогда t=πn, nϵZ; 2)
sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ; 3)
sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ; 4)
cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ; 5)
cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ; 6)
cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ; 7)
tg t =0, тогда t = πn, nϵZ; 8)
ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ. Решение простейших тригонометрических неравенств.
Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11
вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.
